2012
2012/4

tartalom:

Alapvető számolási képességek fejlődésének vizsgálata 3. és 5. osztályos gyermekeknél
Jármi Éva – Soltész Fruzsina – Szűcs Dénes



Absztrakt

Keresztmetszeti vizsgálatunk célja a számolási képességek tipikus fejlődésének leírása olyan feladatokban, amelyek a kognitív pszichológia szakirodalma alapján érzékenyek a számfeldolgozó rendszer diszfunkcióira.

A 3. osztályos minta 17 főből, az 5. osztályos 19 legalább átlagos értelmi képességű gyermekből állt. A számítógépen bemutatott feladatokban a teljesítményt a válasz helyességén kívül a reakcióidővel is jellemeztük. Hipotézisünknek megfelelően az idősebbek gyorsabbak voltak a pontszámlálásban 4-8 elem esetében, a többjegyű számok kiolvasásában, a párosság megítélésében, azoknál a műveleteknél, ahol számtani emlékezetükre támaszkodhattak, és húszas számkörön belül az összeadás, pótlás/bontás kivitelezésében. A számmegnevezés és a szubitizáció hasonlóan könnyű, míg a kivonás és az inverzió elvének alkalmazása hasonlóan nehéz volt mindkét csoportnak. A teljesítmény-mintázatokat a problémanagyság mentén is elemeztük.

Kulcsszavak: számolási képességek, tipikus fejlődés, reakcióidő, aritmetikai tények, stratégiák


I. Elméleti bevezetés

I. 1. Mit (nem) tudunk a számolási képességek fejlődéséről?

A matematika széleskörû ismereteket foglal magába, melyek elsajátítása többnyire az iskolai oktatás során történik. A matematika világát sok gyermek idegennek érzi, tanulását pedig öncélú agytornának tartja. A kognitív pszichológia mûvelõi és ismerõi azonban már két évtizede tudják, hogy a számok felfogására és a velük való mûveletvégzésre elõhuzalozott az emberi agy. A számfeldolgozó modul (BUTTERWORTH 1999), vagy Stanislas Dehaene (2003) fogalmával élve a számérzék számolási képességünk veleszületett, nagyrészt specializált (vagyis a többi kognitív képességtõl elkülönülõ, ha nem is teljesen független) alapja, amely kiterjed kis számosságok (<4) számolás nélküli felfogására, nagyságrendi viszonyaik megértésére és ebben a számkörben összeadásra, kivonásra (GEARY 1995). A preverbális csecsemõk – hasonlóan a patkányokhoz, galambokhoz, primátákhoz – képesek továbbá nagyobb mennyiségek közelítõ reprezentációjára is (XU et al. 2005). A számszavak elsajátítása, és az ujjakon történõ számlálás még az iskolába lépést megelõzõen lehetõvé teszi a számok és a számtani mûveletek megértését, a számfogalom kialakulását nagyobb számkörben is.

A számolási képességek tipikus fejlõdésének leírásával azonban még adós a tudomány. A feladat nehézsége egyrészt a számfeldolgozás komplexitásából fakad, hiszen a számolás funkcionálisan és neuroanatómiai szinten is több, viszonylag elkülönülõ tudásterületbõl tevõdik össze. A számolás fejlõdésmenete ráadásul nem egyenes irányú, jól bejósolható elsajátítási folyamat, mert az egyéni eltérések ebben igen meghatározóak (KAUFMANN–NUERK 2005).

Kutatásunkban kisiskolások (3. és 5. osztályosok) alapvetõ számolási képességeit vizsgáltuk azzal a céllal, hogy képet kapjunk ezek alakulásáról tipikusan fejlõdõ gyermekeknél abban az idõszakban, amikor a gyakorlatban legtöbbször fel szokott merülni az igény az atipikus fejlõdés azonosítására, vagyis a számolási zavar (fejlõdési diszkalkulia) diagnosztizálására. A kutatási adatok alapján is kitüntetett jelentõségûnek tûnik az iskola 4. osztálya, ekkorra szilárdulnak meg olyan számokkal kapcsolatos alapvetõ ismeretek, mint például a lineáris mentális számegyenes, illetve az összeadó- és szorzótábla tényei és az alapvetõ számolási képességek automatizálódása. Nagyon fontos lenne ennek a fordulópontnak jól mérhetõ mutatóit megtalálni, melyek mentén lehetõvé válhat a számolási zavar megbízható és differenciált diagnosztizálása.

Jelenleg ha eltérő fejlődésről, vagy fejlõdési lemaradásról beszélünk, a normát az iskolai tananyag jelenti, vagyis normális fejlõdésû az a diák, aki megfelel a matematikatantárgy követelményeinek adott osztályfokon. Minden matematikát tanító és tanuló számára ismert, hogy ehhez rengeteg olyan feltételnek is teljesülnie kell, ami nem számolás-specifikus (pl. legalább átlagos intelligencia, megfelelõ figyelem, emlékezet, grafomotórium), sõt nem is képesség (pl. motiváció, megfelelõ oktatás, tanárral való kielégítõ kapcsolat). A számolási zavar diagnózisának felállítása során ezeket a tényezõket mind számba kellene venni, hogy ki lehessen szûrni a valódi diszkalkuliás tanulókat, vagyis azokat, akiknek számolás-specifikus sérülésük van. Ennél hatékonyabb és megbízhatóbb eljárás lenne, ha olyan feladatokban mérnénk a gyermekek teljesítményét, melyek közvetlenül (vagyis a lehetõ legközvetlenebbül) tükrözik a számfeldolgozó rendszer mûködését, fejlettségét. A tipikusan fejlõdõ gyermekek eredményei alapján felállított életkori, illetve osztályfok szerinti normákhoz lehetne viszonyítani a gyermek aktuális teljesítményét. Ezért állítottuk kutatásunk fókuszába az alapvetõ számolási képességeket (numerikus bázisképességeket). Ezek tehát területspecifikus képességek, melyek szoros kapcsolatban állnak a számfeldolgozó modullal/számérzékkel, és a fejlõdés során korán (alapjaik még az iskola megkezdése elõtt), a formális matematika oktatásának elsõ néhány évében kialakulnak.

A továbbiakban röviden bemutatjuk a számfeldolgozás jelenleg leginkább elfogadott neurokognitív modelljét, majd áttekintést adunk a kognitív pszichológia azon eredményeirõl az alapvetõ számolási képességek terén, melyek kutatásunk kiindulópontjaként szolgáltak. (Dehaene hármas kód modelljének részletes bemutatásától eltekintünk, mert a szerző Számérzék című könyve 2003-ban megjelent magyarul, továbbá Krajcsi Attila (2010) tanulmányában az érdeklődők erről jelen folyóiratban is olvashattak. )

I. 2. A számfeldolgozás hármas kód modellje

Dehaene hármas kód modellje (2003) a ’felnõtt agy’ számfeldolgozásáról kognitív neuropszichológiai és idegtudományi adatokon nyugszik, elnevezése pedig azt az alapvetést tükrözi, hogy a különbözõ számolási feladatok megoldásához három elkülönülõ reprezentációt használunk. A mennyiségek egyik szimbolikus kódja a számnevek rendszere (auditoros-verbális szókeret), ami a számokat hangsorokként tárolja, a másik általunk használt számszimbólum az arab számok rendszere (vizuális arab szám formátum). Ezeket az analóg mennyiségreprezentáció ruházza fel jelentéssel, vagyis ez tárolja a számok nagyságrendi értékeit. A számok analóg mennyiségi reprezentációja a mentális számegyenesen valósul meg, amelyet Dehaene zsugorítottnak/logaritmikus skálájúnak feltételez, vagyis minél nagyobb, ritkábban használt egy szám, annál pontatlanabb a mentális számegyenesre vetített reprezentációja.

A három kód kölcsönös összeköttetésben áll egymással, vagyis a verbális-vizuális alrendszer között átkódolás történhet az analóg rendszer közvetítésével az ún. szemantikus úton, de akár közvetlenül is, a számok jelentését nélkülözve. Mindegyik rendszer külön bemenetet kap, és külön kimenetet küld: a vizuális alrendszer az arab számok írását és olvasását végzi, a verbális a betûket olvassa és írja, továbbá a hallott és kimondott számneveket értelmezi, míg az analóg rendszer a vizuális becslésért felelős (pl. ponthalmazok számosságának közelítõ meghatározása).

A modell talán legnagyobb értéke, hogy megpróbál magyarázatot adni a különbözõ számtani mûveletek funkcionális és neuroanatómiai elkülönülésére. Az egyes mûveletek hozzárendelhetõk a különbözõ reprezentációs formákhoz attól függõen, hogy melyikre támaszkodunk a feldolgozás során legerõteljesebben, vagyis a feladat mely idegi hálózatok mûködését igényli. A kísérleti adatok azt mutatják, hogy a verbális alrendszer a szorzótábla tényeinek, illetve egyjegyû számok összegének tárolásában és felidézésében meghatározó, és persze a verbális számlálásban, ahol a számszavak sorozatának automatikus elõállítására van szükség. Az arab számok rendszerére a többjegyû számokkal való mûveletvégzés és a számok párosságának megítélése során támaszkodunk. Az olyan feladatok elvégzése, mint a számok nagyságának összehasonlítása, a hozzávetõleges számolás, és a kivonás mindenképpen a mentális számegyenes igénybevételével történik. (Egy művelet eredményének közelítő becslése elegendő például annak eldöntésére, hogy 145-13 vagy 58+25 végeredménye-e a nagyobb.)

I. 3. Számmegnevezés, számkiolvasás

Nézzük meg az arab számok megnevezése során lejátszódó folyamatokat elsõként a hármas kód modell mentén. A számjegy alakjának felismerését a fusiform gyrus számjegyekre specializált vizuális detektorai végzik kb. 150 ezredmásodperc alatt (ALLISONet al. 1994). A következõ lépés a szám jelentéséhez való hozzáférés, hiszen ahogy már fentebb említettük, a vizuális-verbális átkódolás elsõdlegesen a szemantikus úton történik. A számok értelmezése számmegnevezés során tehát reflexesen történik, amit viselkedéses szinten a távolságfüggõ priming-hatás (DEHAENE 2004) bizonyít. Ha az elõfeszítõ szám (ami csak 50 ezredmásodpercig villan fel a célinger elõtt, így tudatosan nem dolgozza fel a kísérleti személy) közelebb áll a megnevezendõ célszámhoz, akkor annak megnevezése gyorsabb, mint távolabbi szám esetén (pl. az 5 hatékonyabb elõfeszítõje a 6 számnak, mint a 2).

Neuropszichológiai esettanulmányok alapján arra következtethetünk, hogy létezik egy aszemantikus, vagyis a vizuális-verbális rendszert összekötõ közvetlen út is, ami a számokat egyik jelrendszerbõl a másikba alakítja jelentésük mérlegelése nélkül, de normál mûködés esetén ezt kevésbé használjuk. (Mr. M. 68 éves akalkuliás beteg, aki agysérülése nyomán elvesztette számérzékét, kiválóan olvas számokat és végez szimbolikus számításokat, de képtelen felfogni ezek értelmét (DEHAENE 2003: 244).)

A tízes számrendszerben a helyérték fogalmának (számjegyek helyüktől függően más-más értéket vesznek fel) megértése a többjegyű számok elsajátításának záloga, a számok nyelvtanát pedig a számszavak képzése érdekében kell megtanulni. Nyelvfüggõ, hogy a két rendszer mennyire feleltethetõ meg egymásnak, továbbá a 0 átugrása is bonyolítja a számnevek átváltását arab számra (például "kétszáznegyvenkettõ" az nem 200402, hanem 242). Power-Dal Martello (1990) transzkódolás modellje ennek megfelelõen két operátort feltételez: az első összefűzi a helyi értékre bontott számokat (pl. 200+40+2), majd az átíró operátor ejti ki a nullákat, ha a szabály úgy kívánja.

Láthatjuk, hogy a számszavak feldolgozásában aritmetikai szabályok is érvényesülnek (nem csak fonémikus szerkezetük mentén történik), ezért különösen indokolt, ha reprezentációjuk elkülönül a nem számokat jelölõ szavak rendszerétõl (MÁRKUS 2007). Dehaene (1995) EKP adatai valóban arra utalnak, hogy a számok szókategóriája sajátos idegcsoportok működésén alapszik. (Bár ez más szókategóriákra is igaz, mint állatok, eszközök, igék, színek, testrészek.) Dehaene egyik afáziás betegének példája (2003: 256), aki képtelen volt a fonémákat szavakká fûzni, de a számszavak kiejtése során sosem hibázott, azt bizonyítja, hogy még a beszédprodukció szintjén is specializált idegi hálózatok felelõsek a számok megalkotásáért.

Az egyjegyű arab számok ismeretében Magyarországon 5 és 6 éves kor között tapasztalható jelentõs fejlõdés (SOLTÉSZ 2010). Az iskolába lépés elõtt már a gyermekek 90%-a ismeri a számjegyeket 5-ig, közel kétharmaduk pedig 15-ig. Első osztály végére ezeket az összes ép értelmû gyermek elsajátítja, és 39% már ezres számkörben is képes kiolvasni a számokat (JÓZSA 2003).

A bemutatott szám helyes azonosítása/kiolvasása azonban nem az egyetlen mutatója a feladatban mûködõ rendszer fejlettségi szintjének, épségének. Az arab számokkal való tapasztalatok bővülésével azt várjuk, hogy azonosításuk egyre kevésbé igényel mentális erőfeszítést, automatizálódik, így a kiolvasásukhoz szükséges idő egyre csökken (amíg eléri a felnõttekre jellemzõ gyorsaságot).

Verguts et al. (2005) neuronháló modellje további érdekes predikcióval szolgál a számmegnevezés fejlõdésével kapcsolatban. Korábban már utaltunk a számmegnevezés terén mutatkozó távolságfüggõ priming-hatásra, ami a számjegyek mentális számegyenesre történõ fordítására utal. (Az analóg mennyiségreprezentáció két markáns jellemzője ugyanis a távolság- és a nagysághatás (MOYER–LANDAUER 1967): minél kisebb két szám közt a relatív különbség, annál nehezebb megkülönböztetni őket.) A zsugorított számegyenes-elképzeléssel nehezen összeegyezethetõ azonban, hogy a priming szimmetrikus (a 3 ugyanolyan jó elõfeszítõje az 5 számnak mint a 7, R EYNVOET et al. 2002), valamint a megnevezési idõ nem nõ lineárisan a számok nagyságával, 1-9 között végig 455ms körüli (CHOCHON et al. 1999), nem mutatható ki tehát nagyság-hatás (BUTTERWORTH et al. 2001). Verguts et al. (2005) modellje (A modell bemutatásától terjedelmi okok miatt kénytelenek vagyunk eltekinteni.) 30.000 próba után tökéletesen illeszkedik ezekhez a viselkedéses adatokhoz, de a tanulási fázis elején (kb. 1000 próba után) még jelentõs nagyság-hatást generált az, hogy a nagyobb számokkal ritkábban találkozik a gép. (Dehaene–Mehler (1992) megfigyelése szerint ugyanis a mindennapokban a számok előfordulási gyakorisága nagyságukkal arányosan jelentősen csökken.) A szerzők felvetik annak lehetõségét, hogy ugyanez a mintázat figyelhetõ meg arab számok terén még kevés gyakorlattal rendelkezõ gyermekeknél. Annak meghatározása, hogy a tipikus fejlõdés mely pontján várható nagyság-hatás egyjegyû számok tartományában megnevezési feladatban (pl. 6 éves korban, még az iskolába lépés elõtt?), még empirikus vizsgálatra szorul.

I. 4. Pontszámlálás

Fontos számolási bázisképesség nem szimbolikus ingerek (jelen vizsgálatban szimultán bemutatott ponthalmaz) számosságának meghatározása. Ez háromféle módon történhet: megbecsülhetjük a látott ingerek mennyiségét, megszámlálhatjuk az elemeket, vagy támaszkodhatunk szubitizációs képességünkre. Becslés során preverbális számolás történik, aminek mûködésérõl, fejlõdésérõl, korlátairól sokat olvashatunk a szakirodalomban, jelen tanulmányban azonban nem térünk ki. Kutatásunkban ugyanis a gyermekek a bemutatott ingerek számának pontos meghatározására törekedtek, és a korlátlan bemutatási idõ lehetõvé is tette a számlálást. (Ha az ingerek bemutatási ideje 200 ezredmásodpercnél rövidebb, akkor csak becslésre van lehetősége a vizsgálati személyeknek.)

A számlálás szabályait, elveit első osztály végére már biztosan elsajátítják a tipikusan fejlődő gyermekek, értik a mûvelet lényegét és helyesen használják. (Bővebben erről Jármi Éva (2012) Számolási képességek fejlődése óvodás- és kisiskoláskorban tanulmányában olvashatnak az érdeklődők.) Az egyesével való számlálás az elemek szeriális letapogatását igényli, majd minden elemhez hozzárendeljük a soron következő számszót (ez az egy-az-egyhez megfeleltetés képessége), és a kardinalitás elve értelmében az utolsó szám jelöli a halmaz számosságát (GELMAN–GALLISTEL 1978). Iskoláskorban a számlálás hatékonysága nõ, vagyis a számlálási idõben, és az alkalmazott stratégiák terén mutatkozik fejlõdés. Felnõttek szubvokális számlálási ideje (az ingerek méretének függvényében) +300-400ms/pont (JENSEN et al. 1950), míg elsõsöknél még ennek kétszeresét (+750ms/pont) mérhetjük (CAMOS 2003). Ez a különbség az egyesével való számlálás gyorsulásából, illetve hatékonyabb stratégiák megjelenésébõl és alkalmazásából is fakad.

Camos (2003) vizsgálatai szerint már hét éves kortól használják a gyermekek a kettesével, hármasával stb. (maximum hatosával) való számlálást, vagyis a +n stratégiát és az összeadó stratégiát, amikor az elemeket alcsoportonként számolják össze (pl. "2 meg 3 az 5, plusz 2 az 7…"). Kilenc évesek alkalmazzák elõször a szorzó stratégiát, vagyis az alcsoportokban lévõ elemek számát megszorozzák az alcsoportok számával, de ezt a stratégiát minden korcsoportban kevesen, csak a legjobban számlálók alkalmazzák. A +n stratégiát 11 éves kortól egyre gyakrabban használják a gyermekek, és nem csak a közelség mentén alcsoportokba szervezõdõ ingerek számlálása esetében. Kutatásunkban a random elrendezésû ponthalmazokat a 9-11 éves gyermekek valószínûleg egyesével, vagy kettesével számlálták.

A szubitizáció (KAUFMAN et al. 1949) kis számosságok azonnali, hibátlan, számolás nélküli felfogását jelenti. A pontszámlálás feladatban mért reakcióidõ-görbék és hibázási gyakoriságok sajátos képet mutatnak: 3-4 elemnél törést tapasztalhatunk ezekben, vagyis szinte ugyanannyi ideig tart egy, kettõ, három, esetleg négy elem számszerûsítése, és hibázás is csak ennél nagyobb ponthalmazok esetében fordul elõ. Arról mai napig vitáznak a kutatók, hogy hol van a szubitizációs tartomány határa, és milyen mechanizmus áll a jelenség hátterében. (Vannak, akik magát a jelenséget is megkérdőjelezik, például Balakrishnan–Ashby (1991) nem mutatott ki diszkontinuitást a reakcióidőkben.) Az egyik versengő magyarázat szerint pontos becslés történik, vagyis a preverbális számolás ebben a kis számkörben még gyors és pontos (GALLISTEL–GELMAN 1992), a vizsgálati személyek ezért csak ezután (egyénileg eltérõ, hogy pontosan hány elemnél, ez mossa el a tartomány határát) térnek át a lassabb verbális számlálásra. Dehaene–Cohen (1994) ezzel szemben minőségileg eltérõ folyamatot, az elemek szeriális letapogatását nem igénylő, párhuzamos, figyelem előtti (vizuális) feldolgozást feltételez a szubitizáció hátterében. Erre neuropszichológiai bizonyíték a szimultánagnóziás betegeknél kimutatott disszociáció: õk jó teljesítményt mutatnak a szubitizációs tartományban, míg a számlálás deficites (elemeket többször számol, vagy kihagy) a szeriális vizuális exploráció zavara miatt. Piazza et al. (2002) PET vizsgálata nem tudta egyértelmûen alátámasztani fenti nézetet, több agyi (parietális, okcipitális és frontális) területen mértek fokozott aktivációt nagyobb elemszámnál, de nem elkülönülõ hálózatok vettek részt a szubitizációban illetve számlálásban. Késõbbi fMRI vizsgálatukban (PIAZZA et al. 2003) azonban megerõsítést nyert, hogy 3-4 elemnél ugrásszerûen nõ meg a figyelmi területek részvétele a feladatban.

I. 5. Számtani műveletek: összeadás

Dehaene modellje kapcsán már volt szó a számtani mûveletek funkcionális elkülönülésérõl, de még adott mûveleten belül is többféle stratégia áll rendelkezésre a feladat megoldására, amelyek eltérõen terhelik a számfeldolgozó alrendszereket. Elõször tekintsük át az egyjegyű számok összeadásával kapcsolatos ismereteket.

A gyermekek ujjaik segítségével kis számkörben már az iskolába lépés elõtt tudnak összeadni. Külön instrukció nélkül felfedezik a kommutativitás elvét (összeadásnál a tagok felcserélhetõek), és a számolást a nagyobbik összeadandóval kezdik. Az ún. minimumstratégia alkalmazása 5-6 éves kortól jellemzõ, elsõ osztály végére pedig már nincs szükség az ujjakra sem. Fejben számolásnál is a nagyobbik összeadandótól kezdik sorolni a gyermekek a számokat, a számolási idejük ezért a kisebbik összeadandóval egyenes arányban növekszik (egy számolási lépés kb. 400ms).

A műveletek ismételt elvégzése során, asszociációs tanulással (a probléma, vagyis az elvégzendõ összeadás és az eredmény asszociálódásával, pl. 3+5 az 8) kiépül az ún. összeadási tábla (ASHCRAFT 1995). Az összeadási táblában az egyjegyû számok összegei szerepelnek, ezek nagyságának függvényében nõ elõhívási idejük. (Ez az ún. problémanagyság-hatás, melynek hátterében az eltérő gyakorlási mennyiség, és az adatok numerikus szerveződésének hatását egyaránt feltételezik a kutatók (ASHCRAFT 1995; BUTTERWORTH et al. 2001).) Direkt felidézés esetén a 3+5 eredménye közvetlenül kerül felidézésre, míg a dekompozíciós stratégia alkalmazása esetén a probléma lebontása történik pl. 3+(3+2), mert az egyik részösszeg (3+3) hozzáférhetõbb, mint a végeredmény, amelyhez így két lépésben 3+3=6 +2=8 lehet eljutni (GEARY 2004). Valóban, a duplázás (3+3, 4x4) eredményei összeadásnál és szorzásnál könnyebben elõhívhatók (McCLOSKEY 1992), és számolási zavaros gyermekeknél is megtartottak (MÁRKUS 2007).

A felidézésen alapuló stratégiák alkalmazása annak függvénye, hogy a gyermek mennyire bízik a felidézett válasz helyességében: magas kritériumszint esetén, ha a gyermek nem teljesen biztos magában, inkább algoritmusos stratégiára vált (SIEGLER 1988). Tipikus fejlõdés során egyre gyakoribbá válik a felidézés, ami egyrészt jelentõsen lerövidíti a mûveletvégzés idejét, másrészt kevésbé terheli a munkamemóriát, így lehetõvé válik komplexebb problémák (pl. szöveges feladatok) megoldása is (GEARY–WIDAMAN 1992).

A többjegyű számok összeadása minőségileg más feladatot jelent a késõbbiekben. Az összeadási tábla tényeinek felidézésével szemben, amely a hármas kód modell szerint a verbális számformához köthetõ, a többjegyû mûveletvégzés algoritmusos, és a vizuális arabszám-rendszerhez kapcsolódik (DEHAENE 1992, 2003). Erről az aritmetikai folyamatról kapunk képet a helyes válaszok azonosítása során a hibakeresés feladatban. (Kutatásunkban az összeadásoknál az ingerbemutatás formáját a preferált reprezentációhoz igazítottuk annak érdekében, hogy ne legyen szükség átkódolásra, és így a művelet elvégzésének ideje közvetlenül mérhető legyen. Az egyjegyű számok összeadásánál szóban adtuk a feladatot és szóban történt a válaszadás, míg nagyobb számkörben a művelet elvégzése során a számítógép képernyőjén látta a gyermek a számokat.) (A verifikációs feladatban arról kell gombnyomással dönteni, hogy a látott művelet (pl. 14+4=19) eredménye helyes-e, vagy helytelen.)

Amikor a látott végeredmény helyes, akkor feltehetően a számolás – összevetés stratégiát alkalmazzák a gyermekek, vagyis kiszámítják a mûvelet eredményét, és ezt összevetik a látott eredménnyel. Mivel a feladatban nem egyjegyű számok összeadása szerepel, szinte kizárhatjuk, hogy felidézés – összevetés stratégiával (vagyis a mûvelet eredményének felidézésével), vagy felismerés stratégiával dolgoztak a gyermekek (CAMPBELL–FUGELSANG 2001). Utóbbi esetében a szemantikus emlékezetben tárolt emléknyomokkal veti össze a válaszadó a látott mûveletet (pl. összeadási táblában szereplő 3+4=7 teljes adatsorát ismeri fel az egyén). A számolás – összevetés stratégia alkalmazását az jelzi, ha megoldási idő a kisebbik összeadandó nagyságának függvénye. (Példáinkban (pl. 16+2=18) ez mindig a hozzáadandó, ha a személy nem bontja az első tagot tízesekre és egyesekre.)

A hibás válaszok elutasításához nem feltétlenül szükséges elvégezni a számításokat, mégis hosszabb ideig tart a döntés meghozatala (ASHCRAFT–STAZYK 1981; CAMPBELL–FUGELSANG 2001). A plauzibilitás stratégia alkalmazása esetén az egyén a végeredmény kiszámítása/felidézése nélkül is képes gyors ’hibás’ döntést hozni, a mûvelet eredményének közelítő becslése révén, vagy a párossági szabályok (implicit) alkalmazásával.

A hármas kód modellbe jól illeszkedik a hozzávetõleges számolás és a mûveletvégzés elkülönülése, amit a neuropszichológiai esettanulmányokban jelentkező kettős disszociációk is alátámasztanak (DEHAENE–COHEN 1991). A kísérletekben akkor következtethetünk arra, hogy az egyén párhuzamos becslés alapján válaszolt, ha a helytelen válasz elutasításának gyorsasága a helyes eredménytõl való távolságának függvénye (pl. könnyebb a 8+4=21…+9 távolság, mint a 8+4=13…+1 távolság). De Rammelaere et al. (2001) adatai ugyanis kizárják annak lehetõségét, hogy a távolság hatása pusztán a kiszámított/felidézett helyes eredmény és a helytelen válasz összevetésének könnyebbségébõl fakad. (Nem mutatkozott ugyanis problémanagyság-hatás a helytelen feladatokban.)

Régóta tudjuk, hogy a felnőttek egyjegyû számok szorzatainak verifikációs feladatában gyorsabban elutasítják azokat a rossz válaszokat, amelyek megsértik a szorzásra vonatkozó párossági szabályokat (KRUEGER 1986). A párossági információra szorzásnál már 3. osztályos gyermekek is támaszkodnak (vagyis könnyebb a 8x7=57, mint a 8x7=58), pedig általában nem tudják explicit módon megfogalmazni a szabályt (LEMAIRE–FAYOL 1995). A szorzás tanulásának kezdetén tapasztalható hibák nagy része az összeadás párossági szabályaival van összhangban (LEMAIRE–SIEGLER 1995), vagyis elképzelhetõ, hogy összeadási feladatokban is segítheti a gyermekeket a párossági információ.

Fontos kiemelni, hogy a plauzibilitási stratégiát akkor választják a felnõttek, ha ez az alternatív stratégiáknál hatékonyabb, vagyis gyorsabb megoldást eredményez, mint a válasz felidézése/kiszámolása. Jelen kutatásban az összeadások kiszámítása a vizsgált korosztály számára elég nehéz ahhoz, hogy adaptív stratégiaválasztás esetén is indokolt lenne a plauzibilitási stratégia alkalmazása. (Lemaire–Fayol (1995) kutatásában a 3. osztályosok még a probléma nehézségétől függetlenül alkalmazták a plauzibilitási stratégiát, míg a 4. osztályosok válaszaiban már megfigyelhető volt a felnőttekre jellemző adaptív stratégiaválasztás.)

I. 6. Számtani műveletek: kivonás, pótlás, bontás

Képalkotó eljárások eredményei szerint még a kis számkörben végzett kivonás is sokkal inkább igényli a számok szemantikus elaborációját, vagyis jobban támaszkodik a mentális számegyenesre, mint az összeadás (pl. DEHAENE–COHEN 1997). Ez persze nem jelenti azt, hogy a gyermekek ne hívnák segítségül az összeadási tábla tényeit kivonások megoldása során (SIEGLER 1988). Ha a gyermek algoritmusos stratégiát alkalmaz (például a 8–3 elvégzéséhez), akkor vagy a kisebbítendőtől indul, és onnan számol lefelé (87,6,5), vagy a kivonandótól kezd felfelé számolni, amíg a nagyobb számig ér (3-4, 5,6,7,8). Utóbbi több lépést jelent azokban az esetekben, amikor a kivonandó kisebb, mint a maradék, mégis könnyebb a gyermekek számára, mert a növekvõ számsorban ritkábban hibáznak (FUSON 1992). Használatát azért is javasolt erõsíteni, mert jól elõkészíti a többjegyû kivonás eljárása során szükséges kiegészítést (FUSON–BURGHARDT 2003).

A felfelé számolás gyakorlását szolgálják a pótlás feladatok (pl. 3+ =8). Természetesen a gyermekek itt is, és bontás során (pl. 8- =3) is támaszkodhatnak az összeadásitábla tényeire, illetve számolhatnak lefelé, felismerve a feladatokban rejlõ kivonást. Sajnos ez a mûvelettípus kívül esik a kognitív pszichológia vizsgálódási körén, ezért nem tudjuk, hogy milyen stratégiát alkalmaznak a felnõttek ezeknél a példáknál. Az iskolai matematika oktatás elsõ éveiben a gyermekek gyakran találkoznak pótlással/bontással, különösen tízre való pótlással, ezért lehetséges, hogy ebben az életkorban a hiányzó tag felidézése a leghatékonyabb stratégia.

A tízes átlépést igénylő kivonások (például 14–6) nagy nehézséget jelentenek a mûvelet elsajátításának kezdetén. A gyermekek által alkalmazott stratégia elsõ lépésben a kivonandó felbontását igényli (4+…=6), ami inkább additív mûvelet, ezután a kapott eredményt ki kell vonni a tízbõl (10–2=8) számolás, vagy felidézés segítségével (FUSON–KWON 1992). A tízes átlépést igénylõ pótlás/bontás hasonló nehézségû, ha kivonás segítségével jutnak el a gyermekek a válaszhoz, de elképzelhetõ, hogy ezeket a feladatokat egy lépésben, kiegészítéssel oldják meg a gyermekek.

A kivonás fogalmi megértése magában foglalja annak felfogását, hogy a kivonás az összeadás ellentettje (PIAGET 1952), vagyis ha 3+5=8, akkor 8–5=3 és 8–3=5. Már 5–7 évesek jobbak az a+b–b (inverziós) feladatokban, mint a végeredmény mentén illesztett a+a–b mûveleteknél (BRYANT et al. 1999), sőt képesek a+b–(b+1) jellegű komplex problémáknál is alkalmazni az inverzió elvét, még akkor is, ha magát a szabályt nem tudják megfogalmazni.

A kétlépéses műveletvégzés, főleg többjegyű számokkal (pl. 13+13-4) a vizsgált osztályfokokon nagy kihívást jelent a gyermekek számára, ezért várhatóan mind a hibázások számában, mind a reakcióidõben egyértelmûen tükrözõdik, ha az inverzió elvének alkalmazásával, számolás nélkül oldja meg a gyermek a példát. A szabály felismerését és használatát segíti 7-9 éveseknél, ha az inverziós és a kontroll példákat külön-külön, nem keverve mutatják be (STERN 1992). Annak érdekében, hogy az adatok a gyermekek kompetenciáját tükrözzék (érti-e az inverzió elvét), kutatásunkban két elemmel segítettük meg az inverzió szabályának alkalmazását: az instrukció során adott figyelmeztetéssel, illetve három ‘gyakorló’ inverziós példával, amelyeket a tényleges mérés előtt mutattunk be (a válaszokat rögzítettük, de nem dolgoztuk fel). ("Figyelj, egy csalafinta feladat következik! Olyan műveleteket fogsz látni, amiben mindig van egy összeadás és egy kivonás. Mondd meg a végeredményt, de légy résen, mert vannak olyan példák, ahol nem kell elvégezned a műveleteket, akkor is tudod a végeredményt!")

I. 7. Párossági ítélet

A matematikában járatos felnőttek számára a párosság (egy szám páros-e vagy páratlan) a számok kiugró jellemzõje, ezek kategorizálásánál elsődleges szempont. (Ha például három egyjegyű szám közül ki kell választani azt a kettőt, ami a legközelebbi kapcsolatban áll egymással, a felnőttek elsősorban a számok párosságát veszik figyelembe (MILLER–GELMAN 1983).) A párossági ítélet megalkotása során a személy szemantikus emlékezetéből hívja elõ a párossági információt, ami közvetlenül az arab számformához kapcsolódik (DEHAENE et al. 1993). A direkt felidézés stratégiája mellett/helyett két további megoldási módra támaszkodhatnak a kevésbé gyakorlott gyermekek: megvizsgálhatja, hogy a szám osztható-e kettővel, vagy kipróbálhatja, hogy kettesével számolva eljut-e a célszámig. Ezekben az esetekben a szám nagysága jelentõsen befolyásolja a reakcióidõt, vagyis problémanagyság-hatás mutatkozik (BERCH et al. 1999).

A kettesével való számolás következménye lehet a páros számok elõnye. Az ún. párossági hatás értelmében a páros számokkal kapcsolatban gyorsabban tudunk dönteni, míg a MARC-hatás (Markedness Association of Response Codes) arra utal, hogy a páratlan számokat a bal, a páros számokat a jobb oldalhoz társítjuk (BERCH et al. 1999). A mentális számegyenes téri kiterjedését bizonyító SNARC-hatást (Spatial-Numerical Association of Response Codes), vagyis hogy bal kezünkkel/oldalon gyorsabban hozunk számossággal kapcsolatos döntéseket a relatíve kis számokról, míg jobb kezünkkel/oldalon a relatíve nagy számokról, Dehaene et al. (1993) elõször szintén párossági feladatban mutatta ki. Láthatjuk, hogy több tényezõ (szám nagysága, párossága, helyes válaszgomb helyzete) egyszerre fejti ki hatását, ami azt eredményezi, hogy a fenti jelenségek a különbözõ kutatásokban nem következetesen mutatkoznak. Kutatásunkban a vizsgálati személyek párossági ítéletét kevés próbával mértük, ezért csak a robusztusabb, a válaszadó stratégiájára is utaló problémanagyság-hatást ellenõriztük, a többi hatás kivédése érdekében pedig a válaszgombok helyzetét szisztematikusan variáltuk.

A páros-páratlan megkülönböztetést a tízes számkörben a magyar diákok már első osztályban elsajátítják, ezért a vizsgált idõszakban elsõsorban a reakcióidő terén várható esetleg javulás. Berch et al. (1999) egészen hatodik osztályig tapasztalta a megoldási idõ folyamatos csökkenését a párossági feladatokban, de a mintájukban szereplõ amerikai diákok a magyaroknál jóval később, harmadik osztályban kapnak direkt instrukciókat a párosságról.

I. 8. A vizsgálat kérdései, hipotézisei
 
  1. Számmegnevezés: az egyjegyű számok megnevezése már harmadik osztályra automatizálódott, ezért nem mutatható ki nagyság-hatás, és a két csoport reakcióideje azonos.
  2. Számkiolvasás: milyen számkörben automatizálódott harmadik, ill. ötödik osztályra a többjegyû számok kiolvasása, és van-e ebben életkori eltérés?
  3. Pontszámlálás:
    3/A. A szubitizáció jelensége megmutatkozik a reakcióidõ-görbén és a hibaszámban,  és ebben a tartományban nincs különbség a két csoport teljesítményében.
    3/B. A számlálás hatékonysága nõ harmadik és ötödik osztály között, vagyis a számlálási tartományban az ötödikesek reakcióideje kisebb.
  4. 4. Összeadási tábla: milyen számkörben automatizálódott harmadik, ill. ötödik osztályra az egyjegyû számok összeadása, és van-e ebben életkori eltérés?  
  5. Hibakeresés összeadásoknál:
    5/A. A helyes végeredmény azonosításának ideje a hozzáadandó szám nagyságának függvénye, ami az összeadás algoritmusának alkalmazását jelzi, és ennek hatékonysága nõ harmadik és ötödik osztály között.
    5/B. A helytelen végeredmény elutasítása során alkalmazzák-e a gyermekek a plauzibilitás stratégiát (közelítõ becslés, párossági információ figyelembe vétele), és van-e ebben életkori eltérés?
  6. Kivonás, pótlás/bontás: milyen stratégia alkalmazására utalnak a reakcióidõ adatok a tízes átlépést igénylõ vs. nem igénylõ feladatokban, és van-e ebben életkori eltérés?
  7. Inverziós algoritmusok:
    7/A. Milyen arányban ismerik fel és alkalmazzák az inverzió elvét az inverziós példák(A+B-B) megoldásához a harmadik, ill. ötödik osztályosok, és van-e ennek hatékonyságában életkori eltérés?
    7/B. A számolást igénylõ többlépéses mûveletek (A+A-B) megoldásának helyessége és ideje terén az ötödikesek teljesítménye jobb.
  8. Párossági ítélet: az egyjegyû számok párosságának megítélése már harmadik osztályra automatizálódott, ezért nem mutatható ki problémanagyság-hatás, és a két csoport reakcióideje azonos.
II. Módszer

II. 1. A vizsgálat alanyai

A vizsgálati mintát két budapesti általános iskola harmadikos és ötödikes diákjai alkotják. A vizsgálat megkezdése elõtt szülõi belegyezést kértünk, illetve rövid írásos tájékoztatást nyújtottunk a szülõk és a tanárok számára a vizsgálat céljairól, módszereirõl és eljárásáról.

Az első vizsgálati ülésen, melynek elsõsorban szûrõ funkciója volt, 20-20 fõ vett részt. A tipikus fejlõdés tanulmányozása érdekében a mintába kerüléshez két kritériumnak kellett teljesülnie: a gyermeknek nincs ismert tanulási-, illetve viselkedészavara (tanári interjú alapján), és az általános kognitív képességeket mérõ teszteken teljesítménye legalább a normál övezetbe tartozik. Ez alapján három fõt kellett kiejteni, egy fõ pedig nem vett részt a vizsgálat második ülésén. A mintába végül a harmadik osztályosok közül 17 fõ (életkor: 9.3-10.4 év; átlag: 9.77; szórás: 0.37), az ötödikesek közül 19 fõ (életkor: 11.1-12.3 év; átlag: 11.59; szórás: 0.4) került, a nemek eloszlása 18-18 fiú, illetve lány.

II. 2. A vizsgálat menete

Az adatgyûjtés 2005 tavaszán történt, tanítási idõben, az iskolák által rendelkezésünkre bocsátott helyiségekben. A két üléses vizsgálatokat három kiképzett vizsgálatvezetõ végezte, mindkét ülés kb. 45-60 percig tartott. Az elsõ ülésben a gyermekek általános kognitív képességeit mértük, a második alkalommal került sor a számolási feladatokra. (Jelen tanulmányban csak a számítógépes feladatok eredményeit mutatjuk be, további papír-ceruza feladatok: Számok írása, Számkeresés, Számokkal kapcsolatos mindennapi tények, Törtek informális megértése, Szöveges feladatok.)

II. 3. Mérőeszközök

A szűréshez a Snijders-Oomen nonverbális intelligencia-teszt (SON-R 5,5-17) három próbáját (Mozaik, Emlékezés képekre, Képrendezés), a fókuszált figyelmet mérõ Toulouse-Pieron Figyelem Tesztet, valamint a munkamemória különbözõ komponenseinek kapacitását tükrözõ Számterjedelem tesztet alkalmaztuk.

Mivel a számolási bázisképességek mérése során elsősorban a reakcióidő adatokra támaszkodunk (a hibaszám alacsony, ezért kevésbé informatív a könnyû számolási feladatoknál), nem-numerikus gyorsasági feladatban is vizsgáltuk a v.sz-ek teljesítményét: a Tárgymegnevezés feladatban tíz mindennapi tárgy sematikus rajzát (A 260 képi ingerből olyanokat választottunk, amelyek komplexitása az egyjegyű számokéhoz hasonló, továbbá amelyek eredményei szerint egyértelműen felismerhetőek, megnevezhetőek.) (SNODGRASS–VANDERWART 1980) mutattuk be számítógépen, a gyermekeknek pedig minél gyorsabban meg kellett nevezniük a látott tárgyat. A szó kimondásának kezdetét a számítógéphez csatlakoztatott mikrofon érzékelte (ún. voice key), az inger megjelenésétõl eltelt reakcióidõ így ezredmásodperces pontossággal rögzíthető.

Jelen kutatáshoz nyolc számolási feladatot választottunk ki kutatócsoportunk fejlõdési diszkalkulia azonosítását célzó tesztjének (MiniMath) feladatgyûjteményébõl. Számítógépes bemutatásuk a kísérleti pszichológiában gyakran használt Presentation® szoftverrendszer segítségével történt. Az egyes számolási feladatok (A feladatok bemutatási sorrendjét és az instrukciók pontos leírását lásd a függelékben.):
  1. Számmegnevezés, számkiolvasás: egy- és többjegyû arab számok (10db) kimondott számszavakká történõ transzkódolása.
  2. Pontszámlálás: szimultán bemutatott vizuális ingerek (1-10) számosságának meghatározása szubitizáció (1-3), és számlálás (4-10) segítségével.
  3. Összeadó-tábla: hallott egyjegyû számok összegének megnevezése (12db).
  4. Hibakeresés összeadásoknál: helyes/hibás összeadások (pl. 14+5=17) helyességéről döntéshozás (16db), válaszadás gombnyomással.
  5. Kivonás: egy- és többjegyû kivonások eredményének megnevezése (6db). 6
  6. Pótlás és bontás: pótlás (4+… =6) és bontás (5-…=2) feladatok eredményének megnevezése (6db).
  7. Inverziós algoritmusok: A+B-B típusú inverziós, illetve A+A-B típusú számolásos feladatok eredményének megnevezése (8db) az inverzió elvének alkalmazása, illetve számolás segítségével.
  8. Párossági ítélet: egyjegyû számok párosságáról döntéshozás (1-10), válaszadás gombnyomással.
II. 4. Eredmények

A számolási feladatokban a tipikusan fejlõdõ gyermekek várakozásunknak megfelelõen kevés hibát ejtettek. Az inverziós algoritmusok, különösen az A+A-B típusú számolásos feladatok jelentették a legnagyobb kihívást mindkét korosztály számára, ami a magasabb hibaszámban (14%, ill. 17%) is megmutatkozott. A többi feladat összesen 90 próbájában a 3. osztályosok 59 hibát ejtettek, az 5. osztályosok pedig 66 alkalommal válaszoltak rosszul, ami mindkét csoportnál 0.39%-os hibaarányt jelent.

A két csoport hibaszámát feladatonként Mann-Whitney U-próbával hasonlítottuk össze. Ez alapján a három-, illetve négyjegyû számok (147, 479, 1834 számok) kiolvasása volt jelentõsen nehezebb a fiatalabb korosztálynak (U=112.5;p<0.05). Fontos megjegyezni, hogy a hibázó gyermekek azonnal kijavították válaszukat ebben a feladatban. Tendenciaszerû eltérést találtunk még a kivonás helyességében, de fordított irányban, vagyis a harmadikosok ejtettek kevesebb hibát (U=113.5;p<0.1), és az esetek felében nem is helyesbítettek a gyermekek.

A továbbiakban a reakcióidõ-adatok elemzését mutatjuk be, amely során (az alacsony hibaszám ellenére) csak a helyes válaszok reakcióidejére szorítkozunk. Az adatok eloszlásának normalitását Kolmogorov-Smirnov teszttel ellenőriztük, amit a legtöbb esetben egy-egy szélsõséges adat elhagyásával biztosítani lehetett. (A stem and leaf diagramok és a v.sz.-ek tesztmagatartásáról további információkkal szolgáló adminisztrációs lapok áttekintése alapján a pontszámlálásnál 7 adatot, a kivonásnál 3 esetet, a pótlás/bontás feladatban 4, a párossági ítéletnél pedig 1 adatot távolítottunk el.) Abban a két részfeladatban, ahol a normalitás feltétele sérült (Kivonás – könnyû kis számkörben [Z=1.72;p<0.05], Inverziós algoritmusok – inverzió [Z=1.257;p<0.1]), a csoportok összehasonlítására a Mann-Whitney U-próbát, a többi esetben a Welch-féle d-próba alkalmaztuk. Az egyes feladatokban mért reakcióidõ-mintázatot vegyes varianciaanalízisekkel vizsgáltuk, ahol az egyik független változónk az osztályfok volt, a másik pedig a feladat próbái/részfeladatai, így a mintázatokban mutatkozó esetleges csoportkülönbségeket is azonosítani tudtuk.

A nem-numerikus kontrollfeladatban (Tárgymegnevezés) nem találtunk különbséget a két életkori csoport átlagos reakcióideje tekintetében (F=0.611;n.s.), a számolási feladatokban tehát a mért reakcióidõ adatokkal dolgozhattunk. A 3. osztályosok átlaga 694ms (szórás 131.1), az 5. osztályosoké 671ms (szórás 119.5) volt. (A számolási feladatban mutatkozó reakcióidő-eltérés számolás-specifikusan értelmezhető.)

Számmegnevezés: Az egyjegyű számok megnevezése még a tárgyak megnevezésénél is gyorsabban megy a gyermekeknek (átlagosan 492ms az ötödikeseknek, ill. 530ms a harmadikosoknak), függetlenül a számok nagyságától (F=0.994;n.s.). A varianciaanalízis ugyan tendenciaszerû eltérést jelez a két csoport reakcióidõ-mintázatában (F=3.102;p<0.1), az összevont mutatók (a tíz próba átlaga) összehasonlítása során ez teljesen eltûnik (d=1.35;n.s.).

Számok kiolvasása: A többjegyû számok kiolvasása a 3. osztályosoknak lassabban megy (F=10.904;p<0.01), és a számok nehezedésével egyre nõ a két csoport között a különbség (interakció F=4.884;p<0.05). A hibázások gyakoribbá válásával párhuzamosan a három- és a négyjegyű számok kiolvasásának ideje 3. osztályban jelentõsen nagyobb (d=2.93; p<0.01 és d=3.19;p<0.01).

Pontszámlálás: A gyermekek reakcióidő-mintázata alapvetően várakozásainknak megfelelõen alakult. A szubitizációs tartományban (1-3 ponthalmazok) a gyermekek átlagos reakcióideje nem éri el az egy másodpercet (795ms, ill. 824ms), míg ezen kívül (4-10 ponthalmazok) jelentõsen lassabb a válaszadás (2362ms, ill. 2849ms; t=19,338;p<0.01). (Az elemzés első lépéseként a két sorozat eredményét összevontuk, így minden ponthalmaz-méretnél (1-10) egy átlagos reakcióidő került további feldolgozásra. Ha helytelen válasz, vagy mérési hiba miatt az egyik adat hiányzott, az összevont mutató valójában csak egy válasz eredménye.)
1. ábra. Pontszámlálás feladatban mért reakcióidő-mintázatok

Pontonként vizsgálva a reakcióidő-növekedést, a következő eredményeket kapjuk:
  • 1-2 pont között nincs emelkedés (F=1.79;n.s.), de 2-3 között már szignifikáns a kb. 160ms eltérés (F=18.32;p<0.01).
  • 3-4 pont között az emelkedés jelentõs (F=35.71;p<0.01), de mértéke eltér a két osztályfokon (ezt a szignifikáns interakció jelzi: F=7.218;p<0.01): míg az ötödikeseknél ez 140ms, a harmadikosoknál 360ms.
  • 4-5, 5-6, 6-7 pontok között az emelkedés lineáris, minden hozzáadott elem 500ms reakcióidõ-növekedést eredményez (F=73.53, 50.15, 23.01;p<0.01).
  • 7-8, 8-9, 9-10 pontok között csak a 8-9 között van eltérés (F=15.95;p<0.01, és F=0.01, 0.27;n.s.).
Bár a gyermekek ritkán hibáznak (összesen 30 esetben, ami 4% hibaaránynak felel meg), ennek eloszlása nem egyenletes: 1-4 elemnél egyetlen hiba sem fordul elõ, a legtöbb téves válasz pedig 7-10 elemnél figyelhető meg.

A pontszámlálás feladatban az 5. osztályosok gyorsabbak, mint a 3. osztályosok (F=7,330;p<0.01), ami elsõsorban a 4-6, illetve tendenciaszerûen a 7-8 ponthalmazok gyorsabb számlálásából fakad. A szubitizációs tartományban nincs különbség a csoportok válaszidejében (d=0,631; n.s.).

Összeadási tábla: Mindkét korosztálynak hasonlóan nehezedik a feladat (interakció F=2.323;n.s.): a duplázós összeadások a legegyszerûbbek (505ms, ill. 811ms), ezután következnek a tízes átlépést nem igénylő könnyű példák (808ms, ill. 1260ms), a tízes átlépést igénylő nehéz feladatokban pedig mindenki jelentõsen lassabban válaszol (1466ms vs. 2335ms). A 3. osztályosok minden összeadás-típusnál jelentõsen lassabbak (F=8.285;p<0.01), nekik több mint másfélszer annyi idõre van szükségük a válaszadáshoz, mint az 5. osztályosoknak.
2. ábra. Összeadási tábla feladatban mért reakcióidő-mintázatok

Hibakeresés összeadásoknál: bár mindkét csoportnál igen szoros korrelációt mutat a helyes és a hibás összeadások azonosításához szükséges reakcióidõ (r=0.85-0.93; p<0.01), a válaszadás gyorsasága jelentõsen eltér a két feladatban.

A helyes összeadások felismerése jelentõsen könnyebb mind a 3. osztályosoknak (2911ms, ill. 3180ms; t=2.46;p<0.05), mind az 5. osztályosoknak (2140ms, ill. 2528ms; t=3.925;p<0.01). A helyes összeadásoknál a megoldási idõ a hozzáadandó nagyságával együtt nõ mindkét csoportnál (F=12,843;p<0.01). 3. osztályban a feladat megoldása általában lassabb (F=4,967;p<0.05), a +1 próba jelent csak kivételt (d=1.433;n.s.).

A hibás összeadások azonosítása során a hozzáadandó nagysága ugyan összefüggésben áll a reakcióidõvel (F=4.99;p<0.01), de ez a kapcsolat nem lineáris, a +3 és a +4 próbák könnyebbségébõl fakad (F=9.97 és F=14.35;p<0.01).
3. ábra. Hibakeresés összeadásoknál – reakcióidő a hozzáadandó szám nagyságának függvényében

4. ábra. Kivonás feladatban mért reakcióidő-mintázatok

A megadott eredmény távolsága a helyes választól nem befolyásolja a hiba felismeréséhez szükséges időt (F=1.571;n.s.). A gyermekek ugyanolyan gyorsan válaszoltak a +/-2 próbákban, mint amikor végeredmény kisebb volt a kiindulási számnál (F=2.33;n.s.), és gyorsabban, mint nagy távolság (+/-6) esetén (F=4.51;p<0.05), illetve mint amikor a +/-1 feltételnél a párossági szabály megszegése segítette a válaszadást (F=3.69;p<0.1).

A 3. és az 5. osztályosok reakcióidõ-mintázatában nincs eltérés (interakció F=0.204;n.s.), az ötödikesek 700ms körüli elõnye a +/-1 próba kivételével jelentõsnek mondható, vagyis a két csoport között van különbség (F=8.55;p<0.01).

Kivonás: Az 5. osztályosok elõnye az egyjegyű számokkal végzett könnyű kivonásokra korlátozódik, de ez is csak tendenciaszerű eredmény (1306ms, ill. 1888ms; U=107;p<0.1). Nagyobb számkörben jelentõsen lassabban számolnak a gyermekek mindkét korosztályban (2173ms, ill. 2658ms), ennek eltérése nem szignifikáns (d=1,479;n.s.). A tízes átlépés a nehéz kivonások megoldása során tovább nehezíti a feladatot és 3780ms körüli reakcióidõt eredményez a gyermekeknél (3766ms, ill. 3786ms; d=0,370;n.s.). Érdemes itt újra megjegyezni, hogy az ötödikesek ebben több hibát vétettek, mint a harmadikosok (lásd 4. ábra).

Pótlás és bontás: Első lépésben összevontuk a tízes átlépést nem igénylő könnyű feladatokat a pótlás/bontás tízre példákkal, mert ezek megoldási ideje teljesen azonos volt. A tízes átlépés azonban jelentõsen megnehezíti a feladatot, lelassítja a válaszadást (F=90,689;p<0.01), különösen a 3. osztályosok számára (interakció F=7,194;p<0.01).

A könnyű próbákban megegyezik a két csoport teljesítménye (1447ms, ill. 1653ms; d=1.454; n.s.), míg a nehéz pótlás/bontás terén szignifikáns eltérés mutatkozik az ötödikesek javára (2384ms, ill. 3294ms; d=2.561; p<0.05).

Inverziós algoritmusok: A gyermekek többsége (70–80%) felismerte, és alkalmazta az inverzió elvét a feladat megoldása során, ebben nincs különbség a két korosztály között (Khi²=0.473;n.s.). (A feladat befejezése után erre direkt rákérdeztünk: Volt olyan, ahol nem számoltál? Mi volt a szabály?)
5. ábra. Inverziós algoritmusok feladatban mért reakcióidő-mintázatok

Összehasonlítottuk az inverzió elvét felismerõ (26 fő) és nem felismerő gyermekek (9 fõ) hibaszámát mindkét feladattípusban, és ugyan ebben nem mutatkozott szignifikáns eltérés (az inverziós feladatokban 0.11, ill. 0.67; U=75.5;n.s., a számolásos feladatokban 0.81, ill. 1.33; U=81.5;n.s.), de csak az inverzió elvét nem felismerõk között fordult elõ A+AB=A típusú hiba.

A reakcióidő-elemzések egyértelmûen azt mutatják, hogy az inverzió elvét felismerõ gyermekek a szabályt alkalmazzák az inverziós példákban, ami jelentõsen lerövidíti válaszadási idejüket (2837ms, ill. 5943ms; Z=3.888;p<0.01), fõleg nagyobb számkörben (3375ms, ill. 7500ms; Z=3.458;p<0.01). A másik csoportnál nincs különbség az inverziós és a számolásos feladatok reakcióidejében egyik számkörben sem (4102ms, ill. 5260ms; Z=1.481;n.s.), vagyis mindig számolással oldották meg a feladatot.

Mindezzel egybecseng, hogy az inverziós példákban azonos a két évfolyam reakcióideje (2995ms, ill. 3266ms; U=154;n.s.), míg a számolásos feladatokban tendenciaszerûen gyorsabbak az 5. osztályosok (5350ms, ill. 6528ms; d=1,938;p<0.1). Fontos kiemelni, hogy csak a nagyobb számkörben könnyebb a mûveletvégzés az ötödikeseknek (6704ms, ill. 8246ms; d=2,353;p<0.05), az egyjegyû számoknál nincs eltérés a csoportok között (4190ms, ill. 4540ms; d=0,711;n.s.).

Párossági ítélet: Az egyjegyű számok párosságának megítélése könnyû feladatnak számít a reakcióidõ adatok alapján, átlagosan még 1 másodpercre sincs szüksége a gyermekeknek a döntés meghozatalához, kevés hibát ejtenek (próbák 2,8%-a hibás), és a számok nagyságának nincs kimutatható hatása a reakcióidõre (F=1.045;n.s.).

Az ötödikesek teljesítménye jobb, gyorsabban adnak választ ebben a feladatban (813ms, ill. 973ms; F=4.407;p<0.05).

Az egyes feladatokban mért átlagos reakcióidők összehasonlítása alapján elmondhatjuk, hogy a vizsgálatba beválogatott elemi matematikai feladatok reakcióidõ-mutatója alkalmas a 3. és az 5. osztályosok matematikai készségeiben feltételezett különbségek azonosítására (F=7.12;p<0.01; Interakció F=0.84;n.s.).

Érdemes feladattípusonként is elvégezni az elemzést, hiszen az egyes részfeladatokban eltérõ stratégiát alkalmaznak a gyermekek, így ezek nehézsége nagyon különbözõ lehet. Az évfolyamok közötti különbség természetesen itt is megmutatkozik (F=7.78;p<0.01), és bár a két csoport reakcióidõ-mintázata alapvetõen azonosnak mondható (Interakció F=1.49;n.s.), néhány részfeladat nehézségi szintjében van eltérés.
A követhetőség kedvéért a teljes minta átlagos reakcióidejét (kerekítve) tüntettük fel a táblázatban.


III. Megvitatás

A megvitatásban kísérletet teszünk a reakcióidõ adatokban kimutatott életkorfüggõ változások értelmezésére, ami kiegészítõ információk híján (pl. a viselkedés megfigyelése, utólagos beszámoló a megoldás módjáról) néhol spekulatív, de koherens keretbe foglalja szerteágazó eredményeinket.

III. 1. Számmegnevezés, számkiolvasás

Az egyjegyû számok megnevezési ideje a vizsgált gyermekeknél kb. 520 ezredmásodperc. Ez a gyorsaság megközelíti a felnõttek 455 ezredmásodperces eredményét (CHOCHON et al. 1999), amit a kutatók az fMRI adatok alapján a számok aszemantikus úton történõ megnevezésével magyaráztak. Ezt itt pusztán a reakcióidõ ismeretében nem állíthatjuk, de nem is cáfolhatjuk.

Hipotézisünknek megfelelõen már harmadikosoknál sem mutatható ki nagysághatás, vagyis a megnevezési idõ független a számok nagyságától, és nincs eltérés a két életkori csoport reakcióidejében sem. Mindezek alapján azt mondhatjuk, hogy az egyjegyû számok megnevezése harmadik osztályra teljesen automatizálódott. (Ellenőriztük azt is, hogy van-e olyan szám, amelynek megnevezési ideje kiugrik a többi közül (pl. a szám fokozott fonológiai nehézsége miatt, vagy mert a voice-key eltérően érzékeny a számnevek kezdőhangjaira), de nem találtunk ilyen eltérést. )

A többjegyű számok kiolvasásának ideje mindkét csoportnál jelentősen meghaladja az egyjegyű számok megnevezését, ami nem meglepő annak tükrében, hogy a többjegyû számok kiolvasása nem képzelhetõ el aszemantikus úton, hiszen nem egyszerûen egy aritmetikai tény felidézése történik. A feladat fokozatosan nehezedik, de úgy tűnik, hogy a harmadikosoknál a 3-4 jegyű számok esetében ez kifejezettebb, jobban lelassulnak és többet hibáznak, mint az ötödikesek. A tízes számrendszer megértése, a számok nyelvtanának elsajátítása még zajlik a vizsgált idõszakban, csak százas számkörben beszélhetünk a számkiolvasás automatizálódásáról.

III. 3. Pontszámlálás

A pontszámlálás reakcióideje a szubitizációs (1-3) és a számlálási tartományban (4-10) blokkonként összehasonlítva jelentõsen eltér, továbbá a reakcióidõ görbe meredekségében és a hibák eloszlásában is mutatkozik diszkontinuitás, ami szubitizációra utal. Felmerül azonban a szubitizációs tartomány határának kérdése: a gyermekek hibátlan teljesítményének határa négynél van, és az ötödikeseknél a reakcióidõ-görbe is négyig laposabb. Utóbbi életkori különbség könnyen magyarázható GALLISTEL–GELMAN (1992) elképzelésének megfelelõen: egyéni eltérések vannak abban, mikor történik váltás a preverbális számolásról a verbális számlálás stratégiájára. Lehetséges, hogy a fiatalabbak bizonytalanabbak, ezért hajlamosak már kisebb elemszámnál váltani.

A számlálási tartományban egy-egy elem hozzáadása mindkét osztályfokon kb. 500 ezredmásodperccel növeli a reakcióidõt, ami megegyezik LANDERL et al. (2004) 8-9 évesekkel végzett vizsgálatának eredményével. A lineáris emelkedés megszûnik azonban hét elem után, ami valószínûleg a nyolc és a tíz elemszámú ponthalmaz elrendezésébõl fakadhat: a gyermekek (részben) kettesével számlálhattak, ami gyorsítja a válaszadást.

A szubitizációs tartományban nincs életkori eltérés, 4-8 pont között azonban van, ami megfelel azon hipotézisünknek, mely szerint a számlálás hatékonysága kisiskoláskorban is jelentõsen javul. A legnagyobb elemszámoknál a gyermekek többet hibáznak, a hibátlanul számlálók között viszont már nincs kimutatható életkori különbség. (A két csoport reakcióidő-görbéjének meredeksége megegyezik. )

III.4. Számtani mûveletek: összeadás

Egyjegyû számok összegének megnevezése könnyû feladat mindkét vizsgált életkorban. A duplázós összeadások a legkönnyebbek, jelentõsen gyorsabban (egy másodpercen belül) születnek meg a válaszok, mint ami a problémanagyság alapján várható lenne (McCLOSKEY 1992). A tízes átlépést nem igénylõ összeadások megoldási ideje is egy másodperc körüli, ami egyértelmûen a válaszok direkt felidézését jelzi.

A tízes átlépést igénylõ példák megoldása az elõzõeknél sokkal lassabb. Ezt magyarázhatjuk problémanagyság-hatással, vagyis az összeadási tábla tényeinek nagyság mentén történõ szervezõdésével, a nagyobb számokkal kapcsolatos adatok hosszabb emlékezeti keresési idejével, a kevésbé gyakorolt példák rosszabb hozzáférhetõségével. A másik lehetõség, hogy fentiek miatt a gyermekek egy része bizonytalan az elõhívott válasz helyességét illetõen, ezért inkább kiszámolja az eredményt, vagyis a lassabb algoritmusos stratégiára vált (SIEGLER 1988).

A két osztályfokon mért reakcióidõk között jelentõs eltérés van, a felidézés hatékonysága tehát javul a vizsgált idõszakban. A két csoport reakcióidejének mintázata az egyes részfeladatokban teljesen azonos, amibõl arra következtethetünk, hogy mindhárom feladattípusnál azonos stratégiát, vagyis felidézést alkalmaznak (a tízes átlépésnél is).

A verifikációs feladat jelentõsen nehezebb, több idõt vesz igénybe, mint az egyjegyû számok összeadása. A helyes eredmény felismerése gyorsabb, mint a helytelenek elutasítása, ami megfelel a korábbi kutatások tapasztalatainak (ASHCRAFT–STAZYK 1981; CAMPBELL–FUGELSANG 2001). A válaszadáshoz a gyermekek valószínûleg a számolásösszevetés stratégiát alkalmazzák, erre utal, hogy a reakcióidõ a hozzáadandó szám nagyságával arányosan nõ. Az ötödikesek jobb teljesítményének magyarázata, hogy feltehetõen gyorsabban számolnak (kivéve a +1 példát).

A helytelen összeadások terén kapott reakcióidõ-mintázat elsõ pillantásra nehezen értelmezhetõ. A számolás-összevetés stratégia alkalmazása ellen szól, hogy a reakcióidõ nem nõ a hozzáadandó szám nagyságával. A plauzibilitási stratégia használata sem nyert azonban megerõsítést, hiszen közelítõ becslés esetén a helyes eredménytõl való nagyobb távolságnál gyorsabban kellett volna válaszolni, mint közeli rossz válasz esetén. Az összeadás párossági szabályát megszegõ rossz választ sem azonosítják gyorsabban a gyermekek.

Ez a zavaros kép fakadhat a két stratégia ’vegyes’ alkalmazásából, de ezzel nehezen összeegyeztethetõ, hogy a két életkori csoport reakcióidõ-mintázata teljesen azonos. Megvizsgáljuk azonban a +3 és a +4 példákat – melyekben jelentõsen gyorsabban válaszolnak a gyermekek – azt látjuk, hogy ezek között szerepel egy-egy duplázós jellegû feladat (13+3, 14+4), amiben számolás helyett felidézés alapú stratégia használata segíthette a gyors megoldást.

Összességében úgy tűnik, hogy a harmadikos és az ötödikes gyermekek egyaránt a számolás/felidézés-összevetés stratégiát alkalmazzák mindkét részfeladatban, aminek hatékonysága jobb a magasabb osztályfokon. Párhuzamos becslésre, illetve a párossági információ figyelembe vételére nem utalnak az adatok. Ennek egyik lehetséges magyarázata, hogy nem elég nehéz a húszas számkörön belüli összeadás a gyermekeknek.

III.5. Számtani műveletek: kivonás, pótlás, bontás

Az egyjegyű számokkal végzett fenti mûveletek megoldása során úgy tûnik, hogy a gyermekek az algoritmusos stratégia helyett inkább az összeadási tábla tényeire támaszkodnak. Elsõ lépésként le kell fordítani a bemutatott példát az összeadási tábla adatainak megfelelõ formátumra, ezután kerül felidézésre az eredmény. A gyermekek reakcióideje ezért lehet nagyobb, mint az egyszerû összeadásoknál. Az ötödikesek elõnye itt már nem mutatkozik meg, vagyis az összeadástól eltérõen ezekben a feladatokban a két életkori csoport teljesítménye azonos.

Nagyobb számkörben – akkor is, ha nem szükséges tízes átlépés a megoldáshoz – a kivonás mindkét csoportnak jelentõs nehézséget okoz: a fejben történő kivonás algoritmusának alkalmazása lassú, az ötödikeseknél különösen bizonytalan, talán mert õk inkább az írásbeli kivonás eljárásában gyakorlottak. (Több ötödik osztályos jelezte is a v.v.-nek, hogy csak papíron tudja kiszámolni az eredményt.)

A két csoport teljesítménye a kis számkörben végzett, tízes átlépést igénylõ pótlás/bontás terén tér el jelentõsen, az ötödikesek közel egy másodperccel gyorsabban számolnak. Valószínűleg ez abból fakad, hogy a példákat kiegészítéssel oldják meg (nem kivonással), és ennek kivitelezésében hatékonyabbak.

Az összeadás és a kivonás műveletének fogalmi megértését tükrözi az inverzió elvének alkalmazása az A+B-B típusú feladatokban, ami – mindkét vizsgált korosztályban – a gyermekek 70–80%-ára jellemzõ. Rákérdezésre õk részben vagy egészben explicitté tudták tenni az alkalmazott szabályt (pl. "ott nem kell számolni, ahol a plusz és a mínusz kiüti egymást"), de a magyarázatokból nem mindig derül ki, hogy az alacsonyabb színvonalú identitás alapú inverzió (ha hozzáadunk, majd elveszünk belõle ugyanaz marad), vagy az absztraktabb kvantitatív inverzió (ha hozzáadunk, majd elveszünk belõle ugyanannyi marad) elvének a felismerése áll a teljesítmény mögött (BRYANT et al. 1999).

Sem az inverziót alkalmazók arányában, sem az inverziós példák megoldási sebességében nincs különbség a két életkor között, vagyis az inverzió szabályát ugyanolyan hatékonyan alkalmazzák.

A kétlépéses mûveletvégzés a legnehezebb, leghosszabb idõt igénybe vevõ feladat már egyjegyû számokkal is (az átlagos reakcióidõ a 4 másodpercet is meghaladta). Hipotézisünkkel ellentétben sem a reakcióidõ, sem a hibázás terén nem találtunk életkori eltérést a kisebb számkörben. Kétjegyû számokkal viszont a harmadikosok jelentõsen lassabban végzik a mûveleteket, ebben a számkörben kevésbé járatosan mozognak. A többjegyû számok összeadása és kivonása (fõleg több lépésben) a számok automatikus kiolvasását és a helyérték biztos ismeretét is feltételezi a mûveletek végrehajtása mellett, ami a harmadikosoknál – a számok kiolvasása feladat tanulsága alapján – még nem alakult ki.

III.6. Párossági ítélet

Az egyjegyû számok párosságának megítélése már a harmadikosoknál is gyors (egy másodpercet sem vesz igénybe), pontos, és a reakcióidõ nem nõ a számok nagyságával. Mindebbõl arra következethetünk, hogy a vizsgált gyermekek direkt felidézéssel dolgoztak, a párosság megítélése harmadik osztályra már automatizálódott. Ennek ellenére van különbség a harmadikosok és az ötödikesek reakcióideje között, vagyis az összeadási tábla tényeihez hasonlóan a párossági információ elõhívása is hatékonyabbá válik a fejlõdés ezen idõszakában. Ezt elsõsorban a gyakorlással, és ezen keresztül az asszociációs kapcsolatok erõsebbé válásával, az aritmetikai tények jobb hozzáférhetõségével – mind a verbális, mind az arab számok rendszerében – magyarázhatjuk.

III. 7. Összegezés

Keresztmetszeti vizsgálatunk eredményei szerint a munkacsoportunk által kidolgozott feladatok alkalmasak lehetnek a számolási képességek differenciált mérésére kisiskolás korban. A teljesítmény legfontosabb mutatója ezekben a bázisképességeket mérõ feladatokban a reakcióidõ, melyet ezredmásodperces pontossággal szükséges rögzíteni. A vizsgált életkorban fejlõdés figyelhetõ meg 1) a számlálás hatékonyságában, 2) a tízes számrendszer megértésében, ami lehetõvé teszi a százas számkörön túl a többjegyű számok kiolvasásának automatizálódását, illetve a többjegyű számokkal való mûveletvégzést, 3) az aritmetikai tények (összeadási tábla, párosság) felidézésének hatékonyságában, és 4) a húszas számkörön belül az összeadás, illetve a pótlás/bontás (kiegészítéssel) mûveletének kivitelezésében.

Nem mutatkozott életkorfüggõ változás a legalapvetõbb bázisképességek terén: a szubitizáció, és az egyjegyû számok megnevezése (illetve kisebb mértékben a kétjegyû számok kiolvasása) harmadik osztályra már teljesen automatizálódott. Másrészt két olyan feladatot azonosítottunk, melyek még az ötödikeseket is komoly kihívás elé állítják: a fejben történõ kivonás, illetve az inverzió elvének alkalmazása. Mindkettõ jelentõs szemantikai elaborációt igényel.

A kutatás OTKA-támogatással (T-049345) valósult meg.


Irodalomjegyzék
  • ALLISTON, T.–MCCARTHY, G.–NOBRE, A.–PUCE, A.–BELGER, A. (1994): Human extrastriate visual cortex and the perception of faces, words, numbers, and colors. Cerebral Cortex, 4, 544–554.
  • ASHCRAFT, M.H. (1995): Cognitive psychology and simple arithmetic: A review and summary of new directions. Mathematical Cognition, 1, 3–34
  • ASHCRAFT, M.H.–STAZYK, E.H. (1981): Mental addition: A test of three verification models. Memory and Cognition, 9, 185–196.
  • BALAKRISHNAN, J.D.–ASHBY, F.G. (1991): Is subitizing a unique numerical ability? Perception Psychophys, 50, 555–564.
  • BERCH, D.B.–FOLEY, E.J.–HILL, R.J. (1999): Extracting parity and magnitude from arabic numerals: Developmental changes in number processing and mental representation. Journal of Experimental Child Psychology, 74, 286–308.
  • BRYANT, P.–CHRISTIE, C.–RENDU, A. (1999): Children’s understanding of the relation between addition and subtraction: Inversion, identity, and decomposition. Journal of Experimental Child Psychology, 74, 194–212.
  • BUTTERWORTH, B. (1999): The mathematical brain. Macmillan, London.
  • BUTTERWORTH, B.–ZORZI, M.–GIRELLI, L.–JONCKHEERE, A.R. (2001): Storage and retrieval of addition facts: The role of number comparison. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 54A, 1005–1029.
  • CAMOS, V. (2003): Counting strategies from 5 years to adulthood: adaptation to structural features. European Journal of Psychology of Education, 18(3), 251–265.
  • CAMPBELL, J.I.D.–FUGELSANG, J. (2001): Strategy choice for arithmetic verification: effects of numerical surface form. Cognition, 80, 21–30.
  • CHOCHON, F.–COHEN, L.–VAN DE MOORTELE, P.F.–DEHAENE, S. (1999): Differential contributions of the left and right inferior parietal lobules to number processing. Journal of Cognitive Neuroscience, 11, 617–630.
  • DEHAENE, S. (1992): Varieties of numerical abilities. Cognition, 44, 1–42.
  • DEHAENE, S. (1995): Electrophysiological evidence for category-specific word processing in the normal human brain. NeuroReport, 6, 2153–2157.
  • DEHAENE, S. (2003): A számérzék: miként alkotja meg az elme a matematikát? Osiris Kiadó, Budapest.
  • DEHAENE, S. (2004): The neural bases of subliminal priming. In KANWISHER, N.–DUNCAN, J. (eds): Functional neuroimaging of visual cognition: Attention and performance XX. Oxford University Press, Oxford. 205–224.
  • DEHAENE, S.–BOSSINI, S.–GIRAUX, P. (1993): The mental representation of parity and number magnitude. Journal of Experimental Psychology: General, 122, 371–396.
  • DEHAENE, S.–COHEN, L. (1991): Two mental calculation systems: A case study of severe acalculia with preserved approximation. Neuropsychologia, 29, 1045–1074.
  • DEHAENE, S.–COHEN, L. (1994): Dissociable mechanisms of subitizing and counting: neuropsychological evidence from simultanagnosic patients. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 20, 958–975.
  • DEHAENE, S.–COHEN, L. (1997): Cerebral pathways for calculation: Double dissociation between rote verbal and quantitative knowledge of arithmetic. Cortex, 33, 219–250.
  • DEHAENE, S.–MEHLER, J. (1992): Cross-linguistic regularities in the frequency of number words. Cognition, 43, 1-29.
  • DE RAMMELAERE, S.–STUYVEN, E.–VANDIERENDONCK, A. (2001): Verifying simple arithmetic sums and products: Are the phonological loop and the central executive involved? Memory and Cognition, 29, 267–273.
  • FUSON, K.C. (1992): Research on whole number addition and subtraction. In GROUWS, D. (ed.): Handbook of research on mathematics teaching and learning. Macmillan, New York. 243–275.
  • FUSON, K.C.–BURGHARDT, B.H. (2003): Multi-digit addition and subtraction methods invented in small groups and teacher support of problem solving and reflection. In BAROODY, A.J.–D OWKER, A. (eds): The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise. Erlbaum, Hillsdale NJ. 267–304.
  • FUSON, K.C.–KWON, Y. (1992): Learning addition and subtraction: effects of number words and other cultural tools. In BIDEAUD, J.–MELJAC, C.–FISCHER, J-P. (eds): Pathways to number. Erlbaum, Hillsdale NJ. 283–306.
  • GALLISTEL, C.R.–GELMAN, R. (1992): Preverbal and verbal counting and computation. Cognition, 44, 43–74.
  • GEARY, D.C. (1995): Reflections of evolution and culture in children’s cognition: Implications for mathematical development and instruction. American Psychologist, 50, 24–37.
  • GEARY, D.C. (2004): Mathematics and learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 37, 4–15.
  • GEARY, D.C.–WIDAMAN, K.F. (1992): Numerical cognition: On the convergence of componential and psychometric models. Intelligence, 16, 47–80.
  • GELMAN, R.–GALLISTEL, C.R. (1978): The child’s understanding of number. Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • GILMORE, C.K.–BRYANT, P. (2006): Individual differences in children’s understanding of inversion and arithmetical skill. British Journal of Educational Psychology, 76, 309–331.
  • JÁRMI Éva (2012): Számolási képességek fejlõdése óvodás- és kisiskoláskorban. Pszichológia, 32/4, 317–339.
  • JENSEN, E.M.–REESE, E.P.–REESE, T.W. (1950): The subitizing and counting of visually presented fields of dots. Journal of Psychology, 30, 363–392.
  • JÓZSA Krisztián (2003): A számolási készség fejlesztése. In DUBICZNÉ MILE Katalin és FARKAS Istvánné (szerk.): Az általános iskola alapozó szakaszának megújítása. Fejér Megyei Pedagógiai Szakmai és Szakszolgáltató Intézet, Székesfehérvár. 27–44.
  • KAUFMAN, E.L.–LORD, M.W.–REESE, T.W.–VOLKMANN, J. (1949): The discrimination of visual number. American Journal of Psychology, 62, 498–525.
  • KAUFMANN, L.–NUERK, H-C. (2005): Numerical development: Current issues and future perspectives. Psychology Science, 42, 142–170.
  • KRAJCSI Attila (2010): A numerikus képességek zavarai és diagnózisuk. Gyógypedagógiai Szemle, 38, 93–113.
  • KRUEGER, L.E. (1986): Why 2x2=5 looks so wrong: On the odd-even rule in product verification. Memory and Cognition, 14, 141–149.
  • LANDERL, K.–BEVAN, A.–BUTTERWORTH, B. (2004): Developmental dyscalculia and basic numerical capacities: A study of 8-9-year-old students. Cognition, 93, 99–125.
  • LEMAIRE, P.–FAYOL, M. (1995): When plausibility judgments supersede fact retrieval: The example of the odd-even rule effect in simple arithmetic. Memory and Cognition, 23, 34–48.
  • LEMAIRE, P.–SIEGLER, R. S. (1995): Four aspects of strategic change: contributions to children’s learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124(1), 83–97.
  • MÁRKUS Attila (2007): Számok, számolás, számolászavarok. Pro Die Kiadó, Budapest.
  • McCLOSKEY, M. (1992): Cognitive mechanisms in numerical processing: Evidence from acquired dyscalculia. Cognition, 44, 107–157.
  • MILLER, K.–GELMAN, R. (1983): The child’s representation of number: A multidimensional scaling analysis. Child Development, 54, 1470–1479.
  • MOYER, R. S.–LANDAUER, T. K. (1967): Time required for judgments of numerical inequalities. Nature, 215, 1519–1520.
  • PIAGET, J. (1952): The child’s conception of number. Routledge & Kegan Paul, London.
  • PIAZZA, M.–GIACOMINI, E.–LE BIHAN, D.–DEHAENE, S. (2003): Single-trial classification of parallel pre-attentive and serial attentive processes using functional magnetic resonance imaging. Proceedings of the Royal Society B Biological Sciences, 270, 1237–1245.
  • PIAZZA, M.–MECHELLI, A.–BUTTERWORTH, B.–PRICE, C.J. (2002): Are subitizing and counting implemented as separate or functionally overlapping processes? Neuroimage. 15, 435–446.
  • POWER, R.J.D.–DAL MARTELLO, M.F. (1990): The dictation of Italian numerals. Language and Cognitive Processes, 5, 237–254.
  • RASMUSSEN, C.–HO, E.–BISANZ, J. (2003): Use of the mathematical principle of inversion in young children. Journal of Experimental Child Psychology, 85, 89–102.
  • REYNVOET, B.–BRYSBAERT, M.–FIAS, W. (2002): Semantic priming in number naming. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 55A, 1127–1139.
  • SIEGLER, R.S. (1988): Strategy choice procedures and the development of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 117, 258–275.
  • SOLTÉSZ Fruzsina (2010): Typical and atypical development of magnitude processing. Ph.D. Thesis, ELTE, Budapest.
  • SNODGRASS, J.G.–VANDERWART, M. (1980): A Standardized Set of 260 Pictures: Norms for Name Agreement, Image Agreement, Familiarity, and Visual Complexity. Journal of Experimental Psychology: Human Learning and Memory. 6(2), 174–215.
  • STERN, E. (1992): Spontaneous use of conceptual mathematical knowledge in elementary school children. Contemporary Educational Psychology, 17, 266–277.
  • VERGUTS, T.–FIAS, W.–STEVENS, M. (2005): A model of exact small-number representation. Psychonomic Bulletin & Review, 12, 66–80.
  • XU, F.–SPELKE, E. S.–GODDARD, S. (2005): Number sense in human infants. Developmental Science, 8, 88–101.

2012/4
Év: 2012
Szám: 4
Impresszum
Kommentek: 0

előző év 2012 következő év

2012/1
2012/1

2012/2
2012/2

2012/3
2012/3

2012/4
2012/4





Ha... Ha? (feb. 2-3.->)
Hülyítődoboz
2015. 02. 02 17:10
Hankiss professzor
Adalbert
2015. 01. 24 09:12
Jó gyakorlat Bemutató
felkarolo
2015. 01. 21 14:05
Ionangyal
Én, ellenem
2015. 01. 20 02:22
Budapest Kupa
Dami
2015. 01. 17 08:05