Az Iparművészeti Főiskolán grafikusként szerzett diplomát, tanulmányaival párhuzamosan a Színházi Magazin, a Délibáb, az Újság, a Tolnai Világlapja külső munkatársa, majd 1946-tól 1951-ig a Szabad Száj karikaturistája volt, fanyar humora, meglepő ötletei és sajátos figuraábrázolása tették népszerűvé.

1951 és 1957 között a Híradó- és Dokumentumfilm Stúdió, majd a Pannónia Filmstúdió munkatársaként dolgozott, 1957-től a Ludas Matyi című élclap belső munkatársa is volt.

Barátja volt a magyar rajzfilmet megteremtő Macskássy Gyula rendező, akivel tervezőként, majd 1960-tól forgatókönyvíróként és társrendezőként működtek együtt.

Első közös munkájuk, az 1951-ben készült a Kiskakas gyémánt félkrajcárja volt az első magyar rajz-játékfilm.

A nagy sikerű Ceruza és radír után következett az 1961-ben rajzolt Párbaj, amely a modern rajzfilm klasszikusává vált, ez volt az első magyar rövidjátékfilm, amely díjat nyert a cannes-i filmfesztiválon (a zsűri különdíját), a következő évben Oberhausenben is kitüntették.

Macskássy Gyula és Várnai álmodta meg az első magyar rajzfilmsorozatot, a Petit, s a kisfiú alakja annyira elnyerte a közönség tetszését, hogy egymást követően két széria is készült belőle 1963-ban és 1967-ben.

A korszak filmjei közül kiemelkedik az 1,2,3/ A számok története, amely az UNESCO-val készült közös vállalkozásban és a Kelet és Nyugat egymásrautaltságát fejezte ki szórakoztató formában. Várnai György keze munkáját dicséri a Frakk, a macskák rémének 22 epizódja és a Gusztáv sorozat több része. Várnai reklámfilmeket is készített, s több kiállítása volt.

Várnai György hősei dilemmában megrekedt emberek. A karikatúra műfajában nem pályázott könnyű sikerekre, sokféleképpen tudott nevettetni, de műveire leginkább mégis a fekete humor volt jellemző.

Minél sötétebb volt az általa ábrázolt konfliktus és minél elképesztőbb a lerajzolt szituáció, annál "gyilkosabb" a humora, mesterien mutatta be, hogy a nevetségest csak egy hajszál választja el a félelmetestől.

Az élet minden vonatkozásában megtalálta az abszurd helyzetekbe rejlő komikumot, amelyet epigrammaszerű tömörséggel, éles kritikával, ellenállhatatlan humorral rajzolt meg. Ezekből a rajzaiból nyújtott át egy csokorra valót olvasóinak az 1965-ben kiadott Csendélet című karikatúra albumában.

Munkáját 1965-ben Balázs Béla-díjjal, 1967-ben Munkácsy Mihály-díjjal tüntették ki. Várnai György 1991. november 12-én halt meg Budapesten.